Saluto di Roberta Morelli, Assessore alla Pubblica Istruzione del Comune di Brescia n bel pubblico come al solito per questi convegni dell’Associazione Montessori Brescia che ringrazio per l’opportunità che regala nuovamente ai nostri docenti e ai nostri studenti. U Voglio ricordare che l’Associazione Montessori Brescia è un’associazione giovane, vivace e molto impegnata. Ringrazio la sua presidente Rosa Giudetti, tutto il consiglio direttivo e ringrazio gli illustri ospiti che sono qui oggi. Saluto il presidente Benedetto Scoppola e poi tutti gli altri per questa presenza importante oggi a Brescia. La vostra presenza così numerosa sta a testimoniare che c’è una grande attenzione intorno a Maria Montessori, intorno a quello che è chiamato il “Metodo Montessori” e questo è uno dei numerosi convegni, se non sbaglio il quarto, a cui ho partecipato da tre anni a questa parte e cioè quando l’Associazione ha iniziato a proporre questi importanti momenti di approfondimento. Vorrei fare una brevissima riflessione che mi piace sottolineare. Come il mondo della scuola, oltre alle criticità che ormai tutti credo possano affermare di conoscere, non ultima la questione delle nomine, vive un momento di grandissima vitalità, c’è una grande attenzione intorno al mondo della scuola, ci sono tanti approfondimenti, tanta ricerca e l’Associazione Montessori Brescia rappresenta uno degli attori che intorno al mondo della scuola stanno facendo molta ricerca e molta attività. Roberta Morelli Rosa Giudetti Credo che si possa affermare che ci sia una nuova consapevolezza intorno alla tematica della scuola e se lacune ci sono, e ci sono perché le vediamo ogni giorno, affianco ci sono queste opportunità di sviluppo, di attenzione al mondo della scuola. L’Associazione Montessori è impegnata ogni giorno a coinvolgere centinaia di docenti e studenti e questo, anni fa, non avveniva e dobbiamo registrare questo grande cambiamento, questa grande novità. Del resto credo che in questo periodo di forte difficolta, anche economica, sia doveroso l’impegno non soltanto finanziario, che sapete è sempre più difficile, ma serve un investimento in risorse umane, serve un investimento, una disponibilità per rinforzare i modelli educativi valorizzando ruoli e soggetti dell’educazione e questo a partire dalla primissima età. Quindi l’unico investimento davvero fruttuoso è quello che si fa sull’educazione, lo diciamo tutti i giorni e dovremmo anche ricordarcene e sarebbe poi opportuno un investimento economico maggiore, lo dico ogni giorno, e mi scontro spesso con la carenza di risorse. L’assessorato alla scuola è stato e continuerà ad essere un punto di riferimento per sostenere le famiglie, le istituzioni scolastiche, le associazioni e le agenzie educative (qui metto appunto l’associazione Montessori) affinché la risposta ai bisogni di crescita e di formazione sia sempre attenta, consapevole, competente e innovativa. L’associazione Montessori Brescia in questo panorama ha un ruolo centrale e lo dimostra il protocollo che come assessore alla scuola ho portato in giunta e credo sia importante perché certifica la cittadinanza dell’Associazione Montessori all’interno del nostro istituto di ricerca pedagogica che si chiama “Pasquale Agazzi”. L’Associazione Montessori ha uno spazio all’interno dell’istituto Pasquale Agazzi che attua ricerca pedagogica e soprattutto in passato ha lavorato in modo molto innovativo. Questo certifica assolutamente l’attenzione dell’assessorato all’Associazione Montessori. Credo che si debba anche tener contro che una scuola che educa l’interesse, all’autonomia, che valorizza l’iniziativa personale sia migliore di quella che ci si trova a fronteggiare, che è una scuola legata a schemi inamovibili e il metodo Montessori costruisce e aiuta ad educare all’interesse, all’autonomia, alla valorizzazione dell’interesse personale. Oggi voi affrontate una tematica estremamente importante ed anche difficile, oggi si parlerà di matematica e voi attraverso questo incontro di oggi migliorerete le vostre competenze e le vostre conoscenze e questo mi convince a ribaltare quella affermazione che “il sapere non rende migliori e nemmeno più felici”. Io sono convinta che dopo l’incontro di oggi voi avrete acquisito conoscenze che vi aiuteranno a migliorare il vostro insegnamento e quindi sarete sicuramente migliori, sarete soddisfatti di quello che avrete fatto e quindi possiamo dire anche più felici. Per tutto questo credo si debba essere grati all’Associazione Montessori di Brescia che ha organizzato questo convegno che conferma l’idea di una Brescia sempre attenta, non solo a preservare il suo patrimonio pieno di studi pedagogici e didattici ma anche in grado di fare di questa città il luogo di una qualificata, continua e responsabile ricerca. Quindi grazie a tutti e buon lavoro. Saluto di Rosa Giudetti, Presidente dell’Associazione Montessori Brescia Ringrazio l’Opera Nazionale Montessori, la Regione Lombardia, la Provincia e il Comune di Brescia per il patrocinio e l’ospitalità. Ringrazio in particolare l’assessore Roberta Morelli che da sempre segue e appoggia le nostre iniziative. Il nostro presidente Benedetto Scoppola ed i nostri ospiti per aver accettato l’invito a partecipare ed essere qui con noi oggi. Vorrei poi fare un ringraziamento speciale alle mie socie: Patrizia Enzi, Paola Veneziani e Olga Borghetti per l’instancabile lavoro e la dedizione con cui portano avanti i nostri progetti. Questo è il nostro quarto convegno annuale e per quest’anno abbiamo scelto un argomento molto sentito nel mondo della scuola: l’insegnamento delle discipline matematiche. Lo abbiamo scelto perché la matematica è notoriamente una disciplina difficile da insegnare per i docenti e da amare per gli alunni E scoprirete invece che nelle scuole Montessori la matematica è una delle discipline che i bambini amano di più. Oggi vi racconteremo il perché e per farlo abbiamo chiesto aiuto a neuroscienziati, professori universitari ma anche a chi la matematica la insegna e la vive a scuola con i bambini ogni giorno. Ma non solo, questo convegno si inserisce in una serie di eventi con cui desideriamo dare un contributo significativo al mondo della formazione, della scuola e degli insegnanti. Un mondo quello della scuola sempre più in crisi, sempre più bisognoso di attenzione e di cura. Dei problemi della scuola siamo tutti consapevoli, chi più chi meno. Assistiamo sconcertati alla delegittimazione di una classe insegnante sempre più sola, ad un patto educativo tra scuola e famiglia ormai quasi inesistente, a genitori che sono diventati i sindacalisti dei figli e ad insegnanti sempre più in difficoltà, ad una politica economica che interviene con tagli e razionalizzazioni che non sono frutto di un progetto pedagogico ma al contrario contribuiscono ad aggravare quella che è già un’emergenza sociale. Perché un bambino che volta le spalle alla scuola è una sconfitta per tutti. È un altro ragazzo che avrebbe potuto fare la differenza e che invece getta la spugna. È un’altra occasione persa. E allora si continua a predicare il cambiamento, il cambio di rotta. Ma il cambiamento deve partire da noi adulti, educatori e insegnanti. Dobbiamo ricominciare a crederci, a dare ai bambini la fiducia e gli strumenti necessari per diventare adulti preparati e indipendenti. Stiamo consegnando loro un mondo estremamente difficile da gestire, dotiamoli almeno di strumenti che li aiutino a migliorarlo. Ma per far questo dobbiamo restituire ai bambini la gioia di imparare e di scoprire e non c’è più tempo perché gli occhi di un ragazzo che assapora il gusto della scoperta hanno la forza di rivoltare la terra e abbattere lo sconforto in cui siamo piombati da anni. Ed è per questo che noi siamo dalla parte di chi ha il coraggio di dire e pretendere politicamente che la scuola torni ad essere una terra da coltivare e di cui cominciare seriamente a prendersi cura. Siamo dalla parte di chi non si arrende ad una buona scuola che di buono ha ancora troppo poco. Siamo dalla parte di chi non accetta questo indiscriminato assalto all’infanzia, questo trasformare i bambini in consumatori sfrenati, psicologicamente dipendenti dall’adulto. Noi siamo dalla parte di chi crede che la scuola debba essere un posto dove si creano legami, dove non si devono solo ripetere nozioni di altri ma si può esprimere anche il proprio pensiero, un luogo dove non si viene giudicati ma si respira la gioia della scoperta e di un apprendimento che dura tutta la vita. Siamo dalla parte di chi accetta di mettersi in discussione per crescere e costruire un modello di scuola che sia rispettoso dei tempi e dei reali bisogni dei bambini. Oggi viviamo e respiriamo una scuola che non è la scuola dei bambini ma la scuola degli adulti. In molte realtà ad esempio non sono gli insegnanti a decidere la disposizione dei banchi, la decidono i bidelli. E questo è un esempio che penso possa valere per tutti. E allora come si possono cambiare le cose? Noi che cosa possiamo fare? Come si può sradicare un sistema ormai così saldamente ancorato nella nostra tradizione? Si può cominciare a promuovere il cambiamento partendo dalle piccole cose, che poi piccole non sono. Dalla disposizione dei banchi nella classe per esempio. Dallo smettere di accettare dei compromessi a scapito dei bambini. Cominciamo ad accettare l’idea che se la difficoltà ad insegnare nella scuola sta aumentando in misura esponenziale, che se i bambini e i ragazzi non ci ascoltano più, che se stanno aumentando in maniera allarmante i casi di bambini “certificati” forse c’è qualcosa che non va. E forse quel qualcosa siamo noi, gli adulti, e quello che offriamo al bambino. Cominciamo a prendere seriamente in mano le redini della scuola e trasformiamola in un ambiente idoneo allo sviluppo del potenziale infantile. Perché i bambini hanno una mente dalle potenzialità straordinarie e se queste potenzialità non riescono a trasformare in atto quello che il bambino è già in potenza allora signori miei, è inutile girarci intorno, la colpa è nostra. Accettarlo e rimboccarsi le maniche per cercare nuove strategie ma soprattutto ritrovare la fiducia nel bambino e l’entusiasmo, è il punto da cui dobbiamo ripartire. Perché l’entusiasmo è contagioso e produce effetti sorprendenti. Perché i bambini e i ragazzi hanno bisogno di adulti che ci credono, che si dedicano a loro con passione e tenacia. Noi ci crediamo e continueremo a lavorare con impegno per promuovere incontri e corsi di formazione e aggiornamento con relatori di grande spessore che possano ispirarci ed aiutarci a portare avanti al meglio il fine che deve muoverci tutti: il bene dei nostri figli. Restituiamo la scuola ai bambini!!!!! Grazie Intervento di Benedetto Scoppola, Presidente Opera Nazionale Montessori Buongiorno a tutti, volevo ringraziare l’associazione Montessori Brescia che sta diventando uno dei fiori all’occhiello del Montessori in Italia. Ringrazio Rosa e tutta l’Associazione per il grande lavoro che fanno. Vorrei partire ricordando una frase che abbiamo recentemente pubblicato sulla rivista “Vita dell’infanzia” che fa parte di una lezione inedita di Montessori: “la maestra deve essere capace di portare entusiasmo, di essere lei che porta l’entusiasmo nella classe senza preoccuparsi troppo delle regole” l’entusiasmo era una cosa che Montessori aveva molto in mente. Oggi cercherò di darvi delle idee che sono più o meno quelle per cui io mi sono appassionato notevolmente alla matematica montessoriana Mi sembra un’idea molto geniale e molto bella da raccontare. La prima cosa, di cui vorrei parlare è questa idea della matematica legata alla storia del pensiero umano, quella che Montessori chiamava l’origine delle cose e, quindi, inizierò a parlare della matematica euclidea che non è quella che sviluppa Montessori, ma che l’ha sicuramente ispirata. Montessori scrisse due libri sulla matematica, si occupò di matematica da un punto di vista pedagogico tutta la vita ma scrisse due libri di matematica nel pieno della sua maturità di autore; era appena stata cacciata dall’Italia fascista e in Spagna pubblicò “Psicoaritmetica” e “Psicogeometria”. Due sono le domande che mi sono venute in mente quando ho cominciato a leggerli: Perché si chiamano psico, psicoaritmetica e psicogeometria? Quanto sono importanti nel complesso dell’opera di Maria Montessori? Montessori spiega che le “psicodiscipline” sono le discipline che concorrono allo sviluppo psichico equilibrato del bambino e quindi ci fa capire subito che quando parliamo di psicoaritmetica, psicogeometria e in generale di psicodiscipline, la cosa importante è il bambino non sono le discipline; questa è già una indicazione fortissima. L’idea assolutamente rivoluzionaria di Montessori all’inizio del ’900, ma abbastanza rivoluzionaria anche oggi, è che il bambino deve essere al centro del processo educativo. Oggi, questo, lo trovate scritto anche sulle indicazioni per il curriculum. Questa idea però è molto più difficile da concretizzare di quanto si pensi. Montessori ci dà delle indicazioni molto chiare, la cosa importante però è che, a parte una psicogrammatica che è in corso di pubblicazione, le discipline che concorrono allo sviluppo equilibrato del bambino sono l’aritmetica e la geometria; quindi, ci viene da pensare che Montessori credeva molto nell’apprendimento della matematica come una parte fondamentale dell’educazione e credo che si riesca a capire molto la proposta pedagogica generale di Montessori guardando le sue idee nell’ambito della matematica. Due caratteristiche fondamentali della proposta pedagogica di Montessori, sono ad esempio l’ispirazione storica dell’azione pedagogica e che questa passa molto attraverso le mani. Queste due idee sono contenute in una frase ancora inedita delle conferenze del ’31 in cui Montessori dice: “ ”. fino a un certo punto l’aritmetica e la geometria furono legate e poi fu necessario distinguerle, ma la cosa più semplice è naturale è l’origine delle cose; come dico sempre, il bambino deve avere l’origine delle cose perché l’origine è più chiara e naturale per la sua mente e noi non dobbiamo fare altro che trovare un materiale che renda l’origine accessibile Questo è un programma didattico, una cosa su cui dobbiamo ancora molto riflettere: l’origine delle cose, il modo in cui l’umanità ha capito per la prima volta dei concetti è il modo naturale per presentarli ai bambini, ed è questa l’idea fondamentale di Montessori! La matematica è il contesto in cui questo programma è stato completamente realizzato da Montessori e realizzato in modo molto chiaro. Questo perché l’origine delle cose nella matematica sostanzialmente la conosciamo: è la matematica greca! È vero che c’è stata tantissima matematica prima, i cinesi dicono che la loro matematica è molto più antica. Certamente, però l’idea della matematica in cui uno si deve porre in un contesto relazionale delle domande, trovare una dimostrazione rigorosa alle risposte che dà a queste domande, è un’idea tipicamente greca. Montessori la matematica greca la conosceva benissimo perché, anche se tutti dicono “Montessori è diventata Montessori perché è stata una delle prime donne a laurearsi in medicina in Italia”, io credo che sia diventata Montessori ancora prima, quando i genitori la volevano mandare all’istituto magistrale e lei si è imposta e ha detto: “No, voglio andare a studiare fisica e matematica.” È un po’ buffo che la più grande pedagogista d’Italia sia diventata così perché si è rifiutata di andare alla scuola magistrale, però questo è quello che sembra sia successo. In questo istituto tecnico di fisica e matematica Montessori ha studiato, e in quell’epoca i libri erano più o meno obbligati in tutto il neonato Regno d’Italia. Il libro su cui ha studiato era basato sugli Elementi di Euclide, scritto peraltro da due grandissimi matematici dell’epoca. Quindi, Montessori conosceva molto bene gli Elementi di Euclide. È un libro bellissimo ma bisogna entrare un po’ nel linguaggio di Euclide, nel pensiero greco dell’epoca. Sugli Elementi di Euclide c’è una definizione, non è nemmeno un teorema, è una definizione con cui Euclide pone le basi della teoria delle proporzioni che è un po’ la teoria su cui poi viene costruita la sua teoria dei numeri. È la definizione numero uno, quella proprio da cui si parte: “una grandezza è parte di una grandezza la minore della maggiore quando misuri completamente la maggiore”. Misurare completamente significa che ci entra un numero esatto di volte e questa è in qualche senso la definizione di numero; non è una definizione, il numero deve essere qualcosa che noi abbiamo dentro, misurare completamente significa entrare un numero esatto di volte e questo ci dice che per Euclide il numero è una cosa che serve a fare le misure: i Greci facevano geometria, quindi, il numero serve per fare le misure della terra. Allora, questa definizione che Montessori conosceva chiaramente l’ha ispirata per un materiale, il materiale delle aste numeriche. Le aste numeriche sono un modo bellissimo per tradurre quella complicata definizione di grandezza che misura un’altra grandezza e, questo ci porta al numero, tradotto in un materiale su cui poi i bambini possono muovere le mani, possono seguire le parti delle aste che sono colorate diversamente, magari accoppiando questo movimento alla parola e, poi, ad un certo punto accoppiandolo anche ai simboli relativi a questi numeri. Comunque, l’idea del numero che viene dagli elementi di Euclide viene presentata esplicitamente da Montessori attraverso questo materiale. Anche i regoli in colore somigliano naturalmente a questo materiale, l’idea è sempre quella di rappresentare il numero attraverso una lunghezza; questa idea spero sia confermata anche dalle neuroscienze. È un modo naturale del nostro cervello per rappresentare i numeri quello di utilizzare la linea dei numeri. Questa idea è quindi alla base di questo materiale e anche dei materiali della scuola tradizionale. Chiaramente per Montessori questa è un’ispirazione che viene dalla matematica vera, dalla matematica greca; poi c’è un altro teorema che è il teorema più famoso del mondo. Se uno dice “dimmi il nome di un teorema” la risposta sarà il “Teorema di Pitagora”. Bene, questo teorema è la proposizione 47 degli elementi di Euclide, che dice: “in un triangolo, il quadrato sul lato opposto all’angolo retto eguaglia i quadrati sugli altri lati”, cioè la definizione che tutti conosciamo e c’è una dimostrazione sugli Elementi di Euclide che non è affatto banale, si ottiene dal disegno che vedete rappresentato: come si fa a presentare una dimostrazione con dei criteri di uguaglianza con l’utilizzo di tantissimi teoremi che sono stati dimostrati prima? È il teorema 47 del primo libro, quindi c’è bisogno di altri 46 teoremi prima di dimostrare questo. Come si fa a fare una cosa del genere nella scuola primaria? Nella scuola primaria, diceva Montessori: “noi dobbiamo trovare un materiale per rendere l’origine accessibile” e fa esattamente questo, cioè prende dei materiali che hanno il “difetto” di dover essere fatti molto bene, perché se sono fatti male non spiegano le cose che vogliono spiegare. Montessori utilizzava un bellissimo ossimoro: “ ”, il materiale non parla, ma in realtà ha tantissime cose da dirti, basta che tu abbia abbastanza tempo per capirle e questo è uno degli aspetti della matematica Montessoriana: il tempo è una cosa che viene lasciata al bambino. la muta eloquenza del materiale Montessori ci dice che dobbiamo avere fiducia e che alla fine il bambino dirà “Ah, ho capito!” e quello sarà il regalo più grande che gli abbiamo fatto. Un bambino che dice “Ah, ho capito!” poi non avrà più la “matofobia” come l’hanno appena chiamata. Il bambino è abituato a provare, a fare dei movimenti con i materiali e, muovendo il triangolo, rimuovendo i due quadrati blu e giallo, muovendo il triangolo dalle due parti, vedrà che si vengono a creare delle nuove figure che hanno ovviamente l’area uguale a quella che c’era prima e poi muovendo il triangolo in basso lo spazio che si crea è proprio uguale allo spazio che viene riempito dai due parallelogrammi di prima. Non pretendo di avervi spiegato come funziona il materiale Montessori del teorema di Pitagora, quello che voglio dire è che questa dimostrazione materiale, cioè muovendo dei pezzi di ferro ben fatti, è esattamente la dimostrazione degli Elementi di Euclide. Questo è un altro esempio di un materiale relativamente semplice ma non banale, infatti viene presentato ai bambini quando sono abbastanza grandi, è comunque relativamente semplice perché Montessori ha tradotto i concetti di un sofisticato teorema del III secolo a.C. in un materiale per rendere accessibile al bambino l’origine delle cose. La cosa fondamentale in tutte queste proposte è la scoperta, il fatto che io per conto mio scopra qualcosa che è veramente il motore dell’apprendimento nella matematica montessoriana. Questa è una cosa bellissima, io sono abbastanza fortunato, mi è capitato diverse volte di andare in classi Montessori e confesso anche in classi non Montessori e di vedere dei bambini che ad un certo punto hanno scoperto qualche cosa, fanno proprio una faccia fantastica, sono fulminati dal fatto che in quel momento hanno veramente capito. Credo che questo sia il più grande regalo che possiamo fare ai nostri bambini: far loro apprendere la matematica, come dicevo, attraverso la scoperta. Quindi dobbiamo trovare tanti metodi, due li abbiamo già visti e l’idea, spero, ora sia chiara: dobbiamo fargli scoprire le cose, la cosa difficile è capire come le scopriamo. Ora vi farò vedere diversi esempi di attività che i bambini possono fare e se noi siamo abbastanza bravi da lasciar loro il tempo che serve per farle fino in fondo, alla fine di queste attività i bambini avranno scoperto delle cose. Nel campo della matematica si può e si deve favorire un tale apprendimento. Sto attentamente evitando di utilizzare il verbo insegnare e non è un caso, io credo che dovremmo imparare a pensare all’idea di fare apprendere la matematica ai bambini, più che essere preoccupati di come gliela stiamo insegnando. Bene, allora un primo esempio: una difficoltà fortissima è il sistema decimale. Imparare a manipolare i numeri che sono scritti con un sistema, con una convenzione che è particolarmente funzionale, tant’è che è una delle pochissime cose accettate in tutto il mondo e imparare a manipolare i numeri secondo degli algoritmi. Quando la maestra ci ha insegnato a fare la divisione ci ha detto “il 7 nel 29 sta 4 volte con l’avanzo di 1, abbasso il 9 allora il 7 nel 19…” ci ha detto “c’è una serie di operazioni da fare”, ecco queste operazioni sono una ricetta magica o sono cose che possono essere comprese fino in fondo? In che modo possono essere scoperte? La bellezza della convenzione è una cosa che può essere scoperta o bisogna accettarla così come una regola? Bene, l’idea è che può essere scoperta e Montessori ha inventato tantissimi materiali per poterci riuscire. Quello più famoso è il materiale delle perle dorate, in cui c’è una caratteristica bellissima e cioè che le idee aritmetiche sono presentate in un senso fortemente geometrico per cui l’unità è una unità, la decina è un segmento di perline, il centinaio è un quadrato di perline e il migliaio è un cubo di perline. E c’è poi anche un’attività bellissima che a me continua a stupire: i bambini ad un certo punto non ci credono tanto al fatto che dentro al cubo ci siano 1000 perle, non ci credono tanto e allora gli si dà la possibilità di smontare quel cubo attraverso una catena di perle e con la catena poi formare di nuovo il cubo e poi smontarlo. Siccome il cubo ha 10 cm di lato circa, capite bene che la catena di 1000 perle che ottenete smontando il cubo è lunga 10 m, in classe non ci entra, allora bisogna andare in corridoio e i bambini incredibilmente si mettono a contare le perle che la compongono e se non ce la fanno, dice Montessori, mettono il segnalino e il giorno dopo ricominciano a contare finché non hanno finito. Viene da ridere ma fanno così davvero. Effettivamente c’è un momento in cui i bambini hanno bisogno di contare, forse non si fidano, ma la matematica è una di quelle attività in cui ad un bambino che non si fida possiamo dare il modo di convincersi veramente. In altre cose non si può ma in matematica sì. Quello del non fidarsi è un passaggio pedagogico fondamentale, dare delle risposte in questo modo e con questi strumenti ad un bambino che non si fida è un’occasione educativa molto significativa nella sua vita. Quindi la matematica diventa davvero un’occasione pedagogica straordinaria. Con questi materiali si possono imparare delle procedure che si apprendono in maniera abbastanza spontanea per cui alla fine cose tipo “abbasso il 5 riporto di 2” diventano delle operazioni di cui si capisce il senso, non sono solo una regola da imparare. Bisogna perderci naturalmente molto tempo, chi presenta queste cose deve saperle benissimo e deve parlare il meno possibile, deve farle fluire nei bambini. Credo che la seconda cosa sia più difficile della prima, per saperle benissimo uno se le studia ma poi parlare il meno possibile, dire veramente quello che è necessario e lasciare che il bambino possa scoprire le cose per conto suo è la cosa più difficile nell’insegnamento. Ora vorrei parlare di geometria. Se mi chiedete se mi piace di più psicoaritmetica o psicogeometria, è un po’ come chiedere ad un bambino se vuole più bene alla mamma o al papà. Però, se proprio devo dirlo mi piace di più psicogeometria, perché la psicogeometria è un insieme di cose che realmente si possono scoprire e che stanno veramente dentro al materiale e non dentro una convenzione. La convenzione del sistema decimale è una convenzione appunto, bellissima che ha tante caratteristiche molto positive, ma la geometria ha dentro delle cose che non sono convenzionali, ma sono proprio lì, dentro gli oggetti che i bambini manipolano. Questa è un’idea strepitosa, per cui mi sento di dire, se ci sono persone che passano le loro giornate dentro ad una classe a far apprendere la matematica ai bambini, di geometria non ne fanno mai abbastanza. È attraverso la geometria che i bambini acquisiscono una conoscenza approfondita di tutti gli aspetti della matematica. Le cose sono andate così: la matematica è nata attraverso la geometria e questo vorrà pur dire qualcosa. L’idea di Montessori del materiale di geometria, del materiale per rendere l’origine accessibile, è quella di dire: se io scompongo le cose e le ricompongo in modo opportuno posso trovare delle equivalenze che mi fanno capire tante relazioni che ci sono fra delle figure. I materiali sono semplicissimi e io questo lo devo dire, una cosa che ho pensato all’inizio vedendo questi materiali è stata: “Ma insomma, questo è un triangolo equilatero, ma saranno veramente interessati i bambini al triangolo equilatero, non ci vorrà qualche cosa di più roboante, di più multimediale, sono abituati a cose più strane, insomma un triangolo è un triangolo…” Bene, se glielo date, se in un’età in cui gli interessa sul serio date ai bambini questi materiali puri, in cui c’è un’idea dentro, non mille ma una, vedrete come arrivano a capire senza sforzo dei concetti difficili da comprendere e memorizzare, come ad esempio le relazioni fra figure che mi dicono essere tra le cose più difficili. Qual è una cosa che i ragazzini alla scuola media non imparano mai e sbagliano in continuazione? È la differenza tra figure uguali, simili, equivalenti; sono tre parole che nel linguaggio comune sono quasi sinonimi: uguali, simili, equivalenti sono quasi sinonimi. In matematica però hanno un significato ben preciso. Ecco, se queste cose, se l’uguaglianza tra figure che significa che io le posso mettere una sopra l’altra e coincidono perfettamente è qualcosa che mi è passata per le mani, se la similitudine, il fatto cioè che ci sono figure che hanno la stessa forma anche se di dimensioni diverse (poi la definizione formale è molto più complicata ma non vogliamo darla ai bambini nella scuola primaria), se l’idea di similitudine, che è un’idea naturale anche se poi la sua definizione è complicata, mi è passata per le mani, se il ragionamento non è solamente precettivo ma anche quello che mi fa dire che il quadrato originale l’ho diviso per la diagonale e ho quel triangolo che vedete in alto a destra nella slide oppure dividendolo per la linea mediana, ottengo quel rettangolo, triangolo e rettangolo non sono uguali, non sono simili, ma una cosa in comune ce l’hanno, sono tutti e due la metà del quadrato e quindi questa cosa in comune si chiama equivalenza; hanno la stessa area, quello che Montessori chiamava “lo stesso valore”. A partire da questi ragionamenti, che sono ragionamenti che partono effettivamente dalle mani, il bambino può fare delle file di figure, a due a due equivalenti, poi le guarda e dice “Quella dei triangoli è bella son tutti i triangoli simili, quanto sarebbe bello quella di sinistra farla tutta con i quadrati ma come faccio a fare un quadrato che ha l’area metà del quadrato originale di questo quadrato qui sarà possibile?” Se voi avete fiducia che i bambini ad un certo punto ci arrivano, poi ci arrivano! Possono anche arrivare ad una dimostrazione indipendente del teorema di Pitagora se gli diamo abbastanza tempo. I bambini hanno un grandissimo senso del bello per cui fanno delle cose che sono da un punto di vista estetico anche straordinarie. Questo è un inizio di idea, di quello che può essere la scoperta per l’apprendimento della matematica ma poi ce n’è un’altra che mi piace tantissimo e mi pare ci sia bisogno di provare a sperimentarla fino in fondo, anche nelle classi Montessori. L’idea è quella dei problemi: i problemi che nella mia tradizione sono una cosa noiosissima perché bisogna scrivere tutto il testo della mamma che è andata al mercato, ha comprato 3 kg di patate, ogni patata costa € 1,50…! Una cosa terribile! A me bambino piaceva tanto la matematica ma non i problemi per il fatto che ci fosse un’operazione striminzita e un sacco di roba da scrivere. Bene, i problemi per la Montessori sono un concetto completamente diverso e sono l’idea che quei materiali che vi ho fatto vedere prima si possono mettere sopra a dei disegni e rendersi conto attraverso questo principio della geometria materiale di composizione e scomposizione che ci sono delle uguaglianze fra figure che sono diverse ed è notevole il fatto che Montessori fa degli esempi di questi problemi. Poi se ne possono inventare molti di più e, gli esempi sono straordinariamente graduali. Questo è il primo esempio di problema: è un problema che apparentemente sembra banale. Certo è banale ma magari se li avessero dati ai bambini dell’età giusta sarebbero stati lì un po’ e avrebbero scoperto tante cose provando a mettere i triangoli sul trapezio, a separarli, a spostarli a destra e vedere che c’è l’uguaglianza. Anche questo è banale: è un triangolo grande, diviso in un rombo e in due triangoli più piccoli. Il triangolo se vogliamo, questo non è più così banale perché non lo vedo più il triangolo nella parte a destra, si può scomporre in due di quei rombi, allora il rombo è la metà del triangolo cosa che non è completamente ovvia, guardando il triangolo all’inizio. Notate che tutte queste uguaglianze i bambini le possono trovare per conto loro, non c’è bisogno che voi vi mettiate sulla lavagna e diciate “vedete bambini oggi studiamo il fatto che il rombo è la metà del triangolo”. Il bambino ha una pila di problemi che può risolvere se è il momento in cui ha voglia di cimentarsi e fare quei problemi, secondo il principio della libera scelta si prende il suo problema, si prende il materiale che gli serve, magari si prenderà qualche materiale in più… pazienza… e finché non è riuscito a trovare l’uguaglianza sta lì, a lavorare per conto suo, il che significa che veramente è lui il protagonista del processo di apprendimento. Io ricordo, insisto la matematica da bambino mi piaceva tantissimo, che quando la professoressa si metteva alla lavagna e cominciava a fare la sfilza di definizioni, be’… quella era una parte che mi scocciava un bel po’. Bene, qui è possibile una cosa che sarebbe straordinaria se noi riuscissimo a farla fino in fondo: cioè che il vocabolario è una cosa che mi serve per dire che cosa ho scoperto, allora sono io a chiedere alla maestra “ma queste due figure come si chiamano? Si chiamano rombo”. Capite che è una cosa completamente diversa di mettersi sulla lavagna a dire “questo è un rombo”, questa è proprio l’idea opposta, mi serve il vocabolario per poter formalizzare le scoperte che ho fatto da un punto percettivo. È un’intuizione davvero bellissima. Fin qui i problemi erano facili, erano stupidi, no? Cominciamo a vedere qualche problema un po’ meno stupido. Innanzitutto si può dire che il triangolo e il rombo di cui abbiamo parlato fanno un esagono. Facile no? Prendo i triangolini, li metto così ma con il materiale che ho per le mani posso anche fare un altro esagono. Vi ricordate il triangolo diviso in tre? E allora i tre triangolini li posso mettere al di fuori del triangolo originale a contatto con i lati e mi viene fuori un altro esagono, è uguale a quello di prima. Se provo, vedo che no, non è uguale, è un po’ più grande. Ma in particolare, se ci penso un attimo lo so, abbiamo detto il rombo è metà del triangolo – sto proprio facendo una lezione di matematica, perdonatemi – il rombo è metà del triangolo, quindi quell’esagono è una volta e mezzo il triangolo originale; ora, quando io prendo il triangolo diviso in tre e poi i tre pezzi li metto fuori dal triangolo, quindi questo esagono è due volte il triangolo, c’è la parte bianca dentro e la parte rossa fuori, quindi uno dei due esagoni è una volta e mezza e, l’altro esagono è due volte il triangolo iniziale. Quindi, se vogliamo, uno dei due esagoni sono tre rombi e l’altro esagono sono quattro rombi. Io adesso l’ho spiegato molto rapidamente, qualcuno timidamente azzarda anche a fare piano sì con la testa. Forse un adulto lo capisce, ma questo problema e questo foglio che il bambino può prendere per capire questa cosa fino in fondo, è qualcosacosa su cui può spendere abbastanza tempo. Cioè come faccio attraverso il materiale che ho e il ragionamento a capire che la differenza tra quei due esagoni è esattamente quel rombo? Devo fare il ragionamento che vi ho detto prima ma lo faccio partendo dalla manipolazione, dalle mani, e poi lo posso tradurre in parole. Questa è l’idea dell’insegnamento della matematica di Montessori. Ci sono altri particolari su cui ci si può soffermare; ho questo difetto di essere matematico e certe cose mi sembrano molto belle, la bellezza è soggettiva e quindi non so se siete d’accordo, però, per esempio, il rapporto tra i quarti fra i due esagoni ci dice che c’è un rapporto tra i quarti anche fra questi due triangoli; questi due triangoli, se fate la differenza tra questi due triangoli viene il triangolino piccolo, quello del triangolo grande diviso in quattro insomma se ci pensate un attimo il lato del triangolo in mezzo è la diagonale del rombo di cui abbiamo parlato e quindi è l’altezza del triangolo grande e quindi se prendete il triangolo diviso in due, in questi triangoli trovate una dimostrazione del teorema di Pitagora in cui ci dice che il triangolo equilatero è costruito sull’ipotenusa equivalente alla somma dei triangoli equilateri costruiti sui cateti e mi viene da citare Corrado Guzzanti “lo sapevate che il teorema di Pitagora vale anche per i triangoli equilateri o per tutte le figure simili che potete immaginare?” Bene, è una delle scoperte della scienza greca molto importante quindi il fatto che uno lo fa capire al bambino con queste manipolazioni mi sembra una cosa veramente lodevole e poi a partire da questa scoperta ci sono altre strutture simili che i bambini possono costruire: questi sono proprio lavori fatti con carta colorata e colla perché c’è anche questa idea, che mi sono reso conto che a tanti montessoriani lascia all’inizio un po’ senza parole, e cioè che nella geometria c’è il quaderno di geometria, ai montessoriani il quaderno non piace tantissimo, i bambini lavorano con le mani ma per la geometria, siccome c’è tanto da scoprire, quando ho scoperto una cosa fino in fondo me la scrivo, ho il mio quaderno che è l’insieme delle cose che ho capito fino in fondo e me le scrivo piano piano sul mio quaderno, magari facendo anche dei lavori che mi va di fare perché in questo modo il prodotto finale è bello! Questa è un’idea pedagogica secondo me molto importante: il fatto che c’è poi un passaggio successivo in cui le cose me le disegno per bene, le scrivo in modo che la cosa che ho capito manipolando il materiale adesso è formalizzata in un modo per cui la posso anche condividere con altri, e questa è una parte molto importante della pedagogia montessoriana, e ci sono tanti altri disegni in queste strutture molto simili che sono di una straordinaria bellezza sul libro di psicogeometria di Montessori. Ma veniamo a una domanda che mi è stata posta: queste tabelline, bisogna proprio impararle a memoria? Non è che si può fare a meno? Sarebbe tanto più facile. Si può fare qualcosa di diverso dal ripetere con tutta la classe 3 x 1=3, 3 x 2=6 ecc…? Si può fare qualche cosa di diverso da questo? Ecco, io penso di sì. Di fatto la moltiplicazione, torniamo al principio, all’origine delle cose perché dobbiamo dare ai bambini l’origine delle cose, l’origine della moltiplicazione qual è? L’origine della moltiplicazione è l’area del rettangolo. La regola dell’area del rettangolo è base per altezza. Noi nella scuola facciamo il contrario di quello che è successo nella storia della matematica, parliamo lungamente di moltiplicazione a livello di somma ripetuta, sostanzialmente, e poi ad un certo punto scopriamo che l’area del rettangolo è base per altezza. Nella matematica originale la moltiplicazione è definita dall’area del rettangolo. Euclide parla di rettangolo contenuto fra due lati: ecco il rettangolo contenuto fra due lati è il prodotto di quei due lati, i segmenti sono dei numeri per Euclide, il rettangolo contenuto è il prodotto fra i due lati. Allora non sarà mica un modo naturale per far apprendere la moltiplicazione ai bambini, questo dell’area del rettangolo? C’è in particolare sul libro di geometria cosa non banale per Montessori aritmetica e geometria sono legatissime lo dice “All’inizio aritmetica e geometria erano legate poi fu necessario dividerle” ecco, erano legate quindi noi gliele presentiamo legate. È un esempio di una cosa che è accennata in psicogeometria su cui si può lavorare moltissimo. E un’altra cosa che vorrei dire, il Montessori soprattutto in Italia che ha questa sensibilità dovrebbe lavorare sulle idee Montessori anche sviluppandole perché Montessori sicuramente ne aveva tantissime e alcune le ha solo accennato nelle sue opere ma chiaramente nella sua testa erano cose da sviluppare quindi noi dobbiamo anche fare uno sforzo per svilupparle. Bene, ad un certo punto su psicogeometria Montessori parla dell’area del rettangolo dicendo che sostanzialmente è data dal numero di quadretti che compongono quel rettangolo e per trovare questo numero di quadretti ovviamente la cosa ovvia è fare il prodotto fra i lati e quindi lega in modo fortissimo l’idea di prodotto fra interi e l’area di un rettangolo che ha dei lati interi. Fa questo esempio specifico vedete i lati sono 4 e 8, ricordatevi che 4 + 8 fa 12 poi Montessori fa vedere subito dopo c’è questa moltiplicazione, questo rettangolo speciale 6 + 6 – vi faccio notare che anche 6+6 fa 12 e questa moltiplicazione è data dall’area del quadrato per cui per esempio, si scopre il perché il quadrato di un numero si chiama così – Il quadrato del numero si chiama così perché quando pensiamo ad un prodotto come l’area del rettangolo è un numero al quadrato, significa calcolare l’area di un quadrato quindi è chiaro che lo chiamiamo quadrato e poi cubo per quello, cosa che per esempio tanti bambini non la sanno, si chiama “n” al quadrato chissà perché, è nel quadrato, anzi “n” alla 2 meglio che “n” al quadrato, così proprio non si capisce niente dell’idea precettiva che c’è dietro. Montessori dice: il primo è uguale fra questo e questo, il primo è uguale però l’area del rettangolo è più piccola 4 x 8 fa 32, 6 x 6 fa 36 e basta la pianta lì. Allora l’idea è che su questo stimolo di Montessori uno può veramente riflettere sulle proprietà che ha hanno le moltiplicazioni; per esempio si capisce che un quadrato, a parità di perimetro, è l’area più grande che potete fare. Adesso vi devo chiedere un minimo di fantasia, pensate di staccare una fettina, un quadretto dal quadrato di toglierla e di metterla a fianco del quadrato, bene, quello che otterrete è un rettangolo che ha per lati 5 perché avete tolto una fettina e 7 perché l’avete messo dall’altra parte quindi la somma dei lati è sempre 12 ma, se ci pensate un attimo quella fettina che avete attaccato è più lunga perché lunga 6 quindi vi è rimasto un quadretto e quindi l’area del quadrato è di uno più grande dell’area del rettangolo. Poi, se dico come nell’esempio di Montessori, se di fettine ne tagliate 2 dal quadrato otterrete questo rettangolo ma vi avanza un quadrato 2x2, infatti 36 meno 4 fa 32 che è il prodotto di 4 x 8. Questo rettangolo può essere ottenuto dal quadrato prendendo due strisce di quadretti mettendole per così, il rettangolo ha il lato 4 e il quadrato che mi rimane ha il lato 2 x 2 e quindi quella è la differenza tra il quadrato e l’area di questo rettangolo e così staccando di volta in volta più file otterrete dei quadrati sempre più grandi. Allora, che ci importa di questo? Bene, prendiamo questa terribile lista di numeri, la Tavola Pitagorica, la cosa che vi ho detto è che se io prendo un rettangolo che ottengo dal quadrato aumentando un lato di 1 e diminuendo l’altro di 1 ottengo una cosa in cui avanza un quadratino che è più piccola di 1, la possiamo vedere in questa lista dei numeri? Prendiamo un quadrato qualunque per esempio 16, se andate in alto a destra c’è 15, che è uno di meno, giusto? Andando in alto a destra state prendendo il prodotto fra 5 che è uno in più di 4 e 3 perché siamo andati in alto che è uno in meno di 4 giusto? Quindi state proprio prendendo quel rettangolo lì, quello che ha il lato di uno più lungo e l’altro più corto di uno e questa cosa se ci guardate succede anche al 25 in alto a destra c’è il 24, 49 in alto a destra c’è il 48, 81 in alto a destra c’è 80. Avevate mai fatto caso a questa regolarità della tavola pitagorica? Bene, fate due salti andate due volte in alto a destra da 25, cioè da 24 meno uno e poi 21 meno 4, da 36 abbiamo detto c’è il 32 meno 4 da 64 a 60 che è meno 4. Be’, ovvio, prendete quelle due file mettete per così e vi avanza il quadrato 3 x 2. Allora serve questo per imparare a memoria le tabelline? Io credo di no, cioè non è che con questo lavoro poi i bambini hanno imparato a memoria le tabelline assolutamente no, però un conto è dirgli “Dovete imparare a memoria questa lista dei numeri perché fa parte dei fatti aritmetici”, non possiamo costruire il pensiero razionale se dobbiamo partire da capo ogni volta e queste sono delle cose che il cervello deve aver capito fino in fondo per poterle poi usare. Allora le tabelline sono una di queste, sicuramente la dovete imparare a memoria però sono cose su cui si possono scoprire delle regolarità. Questa cosa che vi ho detto è una, il principio equi-perimetrico. È una, ma ce ne sono tante altre che si possono scoprire. Qualcuna magari la sapete già: per esempio la tabellina del 9 dove la somma delle cifre fa sempre 9. La tabellina del 6 che fa rima 6 x 4= 24, 6x6=36, 6x8=48, fa rima la tabellina del 6 perché? Pensando ai rettangoli si capisce benissimo, perché fa rima. Bene, ci sono tante cose da scoprire nella tavola pitagorica: allora, se è una cosa che mi interessa, posso forse anche impararla a memoria. Se è un compito che mi hanno assegnato e tutto sommato sono convinto che non mi servirà a niente perché poi faccio tutto con il telefonino non imparerò mai. Montessori ha anche delle immagini molto vive, per dire se non mi interessa io non dò niente, posso anche carpirle le cose ma se non mi interessano vanno in una soffitta del cervello in cui ci sono cose capite che non userò mai più e che quindi sono destinate poi ad essere completamente dimenticate. Questo è un esempio e spero in parte di aver risposto alla domanda. Le tabelline possono essere, devono essere imparate a memoria, ma possono essere rese una scoperta e questa mi sembra una cosa importante. Altri aspetti del metodo sono la libera scelta di lavori che si possono fare sulla matematica, ve ne ho fatti vedere pochissimi, ma sono tantissimi. La proposta di matematica montessoriana è ricchissima di attività quindi i bambini hanno la possibilità di scegliere attività da fare in quel momento. Questa mi sembra una garanzia del fatto che se il clima è un clima basato sull’entusiasmo, quello di cui parlavo prima, se la maestra è capace di creare un clima entusiasta nella classe, se mi scelgo un lavoro vuole dire che ho voglia di farlo. È un po’ una garanzia del fatto che i bambini fanno delle cose che a loro interessano. E poi un’altra cosa importantissima è che i materiali, tutti i materiali sono autocorrettivi: se faccio qualche cosa di sbagliato me ne accorgo da solo. E questo è un discorso molto importante. Nella scuola l’errore è una cosa da sanzionare: è brutto, sbagliare è brutto, prendere un brutto voto è negativo. Invece è proprio attraverso l’errore e sulla conseguente riflessione sull’errore che faccio e sui tentativi che alla fine arrivo al ragionamento giusto. Un matematico fa così. Quando io faccio ricerca in fisica matematica il 90% dei conti che faccio sono sbagliati. Qualche volta sono sbagliati proprio perché li sbaglio, ma qualche volta sono sbagliati perché non sono l’idea giusta per risolvere il problema che mi sono posto, e quindi capisco che quel cammino non è quello giusto e ne faccio un altro. La scuola non ci permette di fare questo: hai sbagliato il compito di matematica? Prendi 4, e ti ritrovi matematica a settembre. È questo nella scuola media con bambini di 11-12 anni succede molto spesso. L’idea dell’autocorrezione mi sembra particolarmente importante in un momento in cui c’è questa ansia da prestazione, questa valutazione fortissima a tutti i livelli. L’idea dell’autocorrezione mi sembra particolarmente bella. Un’altra idea che mi sembra fondamentale e su cui non so cosa dirà Leonardo Fogassi, sono curiosissimo di sentire il suo intervento, è l’interazione fra la percezione e il linguaggio. Spesso le scoperte che il bambino fa, all’inizio sono solamente percettive, poi vengono legate ad aspetti linguistici prima di parola detta e poi di parola scritta, di figure disegnate cioè un passaggio per legare aspetti puramente percettivi ad aspetti simbolico linguistici che nella matematica ahimé sono importanti. La matematica puramente percettiva ce l’hanno anche gli animali, noi sappiamo la differenza tra 4021 e 4022 perché possiamo dire 4021 e 4022, perché abbiamo il linguaggio quindi dobbiamo curare la relazione tra aspetti percettivi e aspetti linguistici nella matematica e questo mi sembra un altro aspetto molto bello della matematica montessoriana. Spero di avervi convinto che la proposta montessoriana chiarisce la relazione che ci dovrebbe essere tra la mente e le mani del bambino che impara; questo fatto di passare attraverso le mani è veramente un’idea cruciale perché è il modo, se realizzato bene, in cui veramente si riesce a concretizzare l’idea che il bambino è il protagonista del processo educativo e non è solamente il fruitore. E spero di avervi anche un po’ entusiasmato: queste cose le ho viste, le ho studiate tanto, le ho viste nelle classi, sono rimasto veramente senza fiato e ho visto bambini che quando sono posti di fronte a problemi diventa quasi impossibile disturbarli, sono bambini che stanno lì e vogliono capire la cosa fino in fondo e, davvero, insisto nel dire che questo è il regalo più grande che possiamo far loro. Questo è uno dei regali che può fare la tradizione montessoriana alla scuola di tutti. Alcune di queste idee, secondo me, dovrebbero essere importate per migliorare anche il nostro Pisa Ocse che va così male. Grazie!